Question

【題目】設函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若，證明恒成立.

Answer 1

【答案】（1）當時，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；（2）證明見詳解.

【解析】

（1）求導，對參數(shù)進行分類討論，進而求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）將恒成立問題，轉(zhuǎn)化兩個函數(shù)最值之間的問題，進而求解.

（1）由題意得，.

①當時，，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；

②當時，在區(qū)間上，，在區(qū)間上，，

故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.

（2）證明：

要證，只需證.

又，故只需證即可.

設，則，

在區(qū)間上，，在區(qū)間上，，

故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以.

設，則，

在區(qū)間上，，在區(qū)間上，，

故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，

所以.

又，所以.

又因為，所以，

所以，

故在上，，

綜上，恒成立.