Question

【題目】已知函數(shù)，其中．

（1）若函數(shù)在處取得極大值，求實(shí)數(shù)的值

（2）函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在處取得最大值，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由題意得出，可求得實(shí)數(shù)的值，然后將實(shí)數(shù)的值代入導(dǎo)數(shù)，就函數(shù)是否在處極大值進(jìn)行檢驗(yàn)，由此可得出實(shí)數(shù)的值；

（2）求得以及，對(duì)實(shí)數(shù)分、、三種情況討論，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)在處取得最值進(jìn)行驗(yàn)證或得出不等式，進(jìn)而可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.

（1），，

由題意可得，整理得，解得或.

當(dāng)時(shí)，恒成立，

此時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無(wú)極值；

當(dāng)時(shí)，.

令，得；令，得或.

此時(shí)，函數(shù)在處取得極大值，合乎題意.

綜上所述，；

（2），

.

①當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的恒成立，

此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，，合乎題意；

②當(dāng)時(shí)，對(duì)于函數(shù)，恒成立，

設(shè)方程的兩根分別為、，則，設(shè)，則.

（i）若，則當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增.

所以，，則，即，解得，

此時(shí)，解得，則；

（ii）當(dāng)時(shí)，即，得，

則對(duì)任意的恒成立，此時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，

則，合乎題意；

③當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，，此時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，

則，合乎題意.

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.