Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）當(dāng)且時(shí)，求證：.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】

（1）求得，然后分、、三種情況討論，分析導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變化，可得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間；

（2）將所證不等式變形為，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)分析出函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，由可證得結(jié)論.

（1）由題意，得.

①若，令，得；令，得.

故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

②若，令，得；令，得.

故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

③若，則是常值函數(shù)，不存在單調(diào)性.

綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)不存在單調(diào)性；

（2）當(dāng)時(shí)，，則即為.

不等式兩邊同時(shí)除以，得，得.

記函數(shù)，則.

設(shè).

當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.

所以當(dāng)時(shí)，.

所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.

所以，即.

故得證.