Question

【題目】如下圖，三棱柱中，側(cè)面 底面， ,且,O為中點(diǎn).

（Ⅰ）證明： 平面；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦；

（Ⅲ）在上是否存在一點(diǎn)，使得平面，若不存在，說(shuō)明理由；若存在，確定點(diǎn)的位置.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）為的中點(diǎn).

【解析】(1)因?yàn)閭?cè)面底面,所以只需證明即可.

（2）可以以O為原點(diǎn)，ＯＮ，ＯＣ，ＯＡ１所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，然后用向量的方法求解線面角的問題.

（3）在（2）的基礎(chǔ)上也可以用向量來(lái)求點(diǎn)E位置.也可以取BC的中點(diǎn)M，連接OM，取BC1的中點(diǎn)E，連接ME，則OM//AB，ME//BB1//AA1，所以平面OMB//平面AA1B，所以OE//平面.從而確定E為BC1的中點(diǎn).

(Ⅰ)證明:因?yàn)?/span>,且O為AC的中點(diǎn),

所以

又由題意可知,平面平面,交線為,且平面,

所以平面

(Ⅱ)如圖,以O為原點(diǎn), 所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

由題意可知, 又

所以得:

則有:

設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則有

,令,得

所以

因?yàn)橹本�與平面所成角和向量與所成銳角互余,所以

(Ⅲ)設(shè)

即,得

所以得

令平面,得,

即得

即存在這樣的點(diǎn)E,E為的中點(diǎn)