Question

【題目】已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)，且在軸上截得的弦長為4，記動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線C．

（Ⅰ）求直線與曲線C圍成的區(qū)域面積；

（Ⅱ）點(diǎn)在直線上，點(diǎn)，過點(diǎn)作曲線C的切線、，切點(diǎn)分別為、，證明：存在常數(shù)，使得，并求的值．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)1

【解析】試題分析：可出設(shè)動(dòng)圓圓心的坐標(biāo)為，根據(jù)題設(shè)用直接法可得曲線方程；（Ⅰ）直線方程和曲線方程聯(lián)立求交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)定積分求曲邊形面積可得結(jié)果；（Ⅱ）設(shè)、， ，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求切線斜率，設(shè)切線方程，由韋達(dá)定理、用 ，表示可得 .

試題解析：（Ⅰ）設(shè)動(dòng)圓圓心的坐標(biāo)為，由題意可得， ，化簡得， 聯(lián)立方程組，解得或，所以直線與曲線C圍成的區(qū)域面積為；

（Ⅱ）設(shè)、，則由題意可得，切線的方程為，切線的方程為，再設(shè)點(diǎn)，從而有，所以可得出直線AB的方程為，即．

聯(lián)立方程組，得，又，所以有，

可得，

，

，

所以常數(shù)．

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程、定積分的應(yīng)用以及解析幾何中的存在性問題，屬于難題.解決存在性問題，先假設(shè)存在，推證滿足條件的結(jié)論，若結(jié)論正確則存在，若結(jié)論不正確則不存在，注意：①當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時(shí)要分類討論；②當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時(shí)，先假設(shè)成立，再推出條件；③當(dāng)條件和結(jié)論都不知，按常規(guī)方法題很難時(shí)采取另外的途徑.