Question

【題目】給定函數(shù)，若存在實數(shù)對，使得對定義域內(nèi)的所有，恒成立，則稱為“函數(shù)”.

（1）判斷函數(shù)，是不是“函數(shù)”；

（2）若是一個“函數(shù)”，求所有滿足條件的有序?qū)崝?shù)對；

（3）若定義域為的函數(shù)為“函數(shù)”,且存在滿足條件的有序?qū)崝?shù)對，當時,函數(shù)的值域為，求當時, 函數(shù)的值域

Answer 1

【答案】是,理由見解析;;

【解析】

分別假設(shè)函數(shù)，是“函數(shù)”，列出方程對任意恒成立即可;

根據(jù)題中的定義,列出方程對任意恒成立,通過整理化簡,令未知數(shù)的系數(shù)和常數(shù)項的對應(yīng)相等求出滿足條件的有序?qū)崝?shù)對即可;

根據(jù)題中的定義,列出兩個恒等式成立,將用替換,兩等式結(jié)合得到函數(shù)值的遞推關(guān)系,用不完全歸納法求出值域.

函數(shù)，是“函數(shù)”,理由如下:

對于函數(shù),因為,

所以要使對定義域內(nèi)的所有，恒成立,只需實數(shù)對滿足即可,這樣的實數(shù)對有無數(shù)對,故函數(shù)是“函數(shù)”;

對于函數(shù),因為對任意恒成立,

所以要使對定義域內(nèi)的所有，恒成立,只需實數(shù)對滿足即可, 這樣的實數(shù)對有無數(shù)對,故函數(shù)是“函數(shù)”.

因為是一個“函數(shù)”,

所以對于任意恒成立,

因為,

所以對于任意恒成立,解得,

所以所求的有序?qū)崝?shù)對為.

由題意知, ,

因為,

即有,當時,,

因為函數(shù)的值域為,,

所以的值域為,即時,,

因為所以,

所以時,；時,，

依次類推,時,,

所以時,,

即有時,,

又因為,所以時,，

綜上可知, 當時, 函數(shù)的值域為.