Question

【題目】已知定點(diǎn)S( -2，0) ，T(2，0)，動點(diǎn)P為平面上一個(gè)動點(diǎn)，且直線SP、TP的斜率之積為.

（1）求動點(diǎn)P的軌跡E的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)B為軌跡E與y軸正半軸的交點(diǎn)，是否存在直線l，使得l交軌跡E于M，N兩點(diǎn)，且F(1，0)恰是△BMN的垂心?若存在，求l的方程;若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，.

【解析】

（1）設(shè)，由結(jié)合兩點(diǎn)間斜率計(jì)算公式，整理化簡即可；

（2）根據(jù)題意，設(shè)直線的方程為，，因?yàn)?/span>，所以，結(jié)合直線和橢圓聯(lián)立的方程組，求出的值，根據(jù)題意，確定出即可得出結(jié)果.

（1）設(shè)，由已知有，

整理得動點(diǎn)P的軌跡E的方程為

（2）由（1）知，的方程為，所以

又，所以直線的斜率，

假設(shè)存在直線，使得是的垂心，則.

設(shè)的斜率為，則，所以.

設(shè)的方程為，.

由，得，

由，得，

.

因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>，

所以，

即，

整理得，

所以，

整理得，解得或，

當(dāng)時(shí)，直線過點(diǎn)，不能構(gòu)成三角形，舍去；

當(dāng)時(shí)，滿足，

所以存在直線：，使得是的垂心.