Question

【題目】已知函數.

（1）若，求的最小值；

（2）若，且，證明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析

【解析】

（1）當時,,先求導可得,設,利用導函數可判斷在上單調遞增,由,即可判斷的單調性,進而求解；

（2）先求導可得,容易得到在上單調遞增,由,即可判斷在上單調遞減,在上單調遞增,設,則,,設,利用導函數可判斷在上單調遞增,則,即,則可得,即,進而由的單調性求證即可.

（1）解:當時,,

所以,

設,則,所以在上單調遞增,

即在上單調遞增,

因為,

所以當時,；當時,,

因此在上單調遞減,在上單調遞增,

所以.

（2）證明:,則,所以在上單調遞增,因為,

所以當時,；當時,,

因此,在上單調遞減,在上單調遞增,

由,不妨設,則,,

令

,

則

，

當時，，

故,所以在上單調遞增；

所以當時，即時,，

因此,

又,所以,

因為,,在上單調遞增,

所以,即,故.