Question

【題目】以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C1的極坐標(biāo)方程是ρ=2，矩形ABCD內(nèi)接于曲線C1 ， A，B兩點的極坐標(biāo)分別為（2， ）和（2， ），將曲線C1上所有點的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)縮短為原來的一半，得到曲線C2 ．
（1）寫出C，D的直角坐標(biāo)及曲線C2的參數(shù)方程；
（2）設(shè)M為C2上任意一點，求|MA|2+|MB|2+|MC|2+|MD|2的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：曲線C1的極坐標(biāo)方程是ρ=2，矩形ABCD內(nèi)接于曲線C1，A，B兩點的極坐標(biāo)分別為（2， ）和（2， ），利用對稱性可得：C ，D ，分別化為直角坐標(biāo)：C ，D ．

曲線C1的極坐標(biāo)方程是ρ=2，化為直角坐標(biāo)方程：x2+y2=4．

設(shè)曲線C2．上的任意一點坐標(biāo)P（x，y），曲線C1的任意一點P′（x′，y′），則 ，可得 ．代入（x′）2+（y′）2=4，得x2+4y2=4，其參數(shù)方程為：

（2）解：A ，B ．設(shè)M（2cosθ，sinθ）．

|MA|2+|MB|2+|MC|2+|MD|2= + +（sinθ﹣1）2+ +（sinθ+1）2+ +（sinθ+1）2

=12cos2θ+20∈[20，32]

【解析】（1）利用對稱性可得：C ，D ，分別化為直角坐標(biāo)．曲線C1的極坐標(biāo)方程是ρ=2，利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程．設(shè)曲線C2 ． 上的任意一點坐標(biāo)P（x，y），曲線C1的任意一點P′（x′，y′），則 ，可得 ．代入圓的方程可得x2+4y2=4，可得參數(shù)方程．（2）A ，B ．設(shè)M（2cosθ，sinθ）．利用兩點之間的距離公式、三角函數(shù)的基本關(guān)系式及其值域即可得出．