Question

【題目】大自然是非常奇妙的，比如蜜蜂建造的蜂房.蜂房的結(jié)構(gòu)如圖所示，開口為正六邊形ABCDEF，側(cè)棱AA'、BB'、CC'、DD'、EE'、FF'相互平行且與平面ABCDEF垂直，蜂房底部由三個全等的菱形構(gòu)成.瑞士數(shù)學家克尼格利用微積分的方法證明了蜂房的這種結(jié)構(gòu)是在相同容積下所用材料最省的，因此，有人說蜜蜂比人類更明白如何用數(shù)學方法設(shè)計自己的家園.英國數(shù)學家麥克勞林通過計算得到∠B′C′D′＝109°28′16'.已知一個房中BB'＝5，AB＝2，tan54°44′08'，則此蜂房的表面積是_____.

Answer 1

【答案】216

【解析】

表面積分兩部分來求，一是底面，是三個全等的菱形，連接BD，B′D′，易得BD∥B′D′，BD＝B′D′＝6，再根據(jù)∠B′C′D′＝109°28′16'，tan54°44′08'，得到OC′，B′C′，可計算菱形的面積，二是側(cè)面，是六個全等的直角梯形，由B′C′，結(jié)合BB′，BC，得到CC′，求得梯形的面積，然后兩部分相加即可.

如圖所示：

連接BD，B′D′，則由題意BD∥B′D′，BD＝B′D′＝6，

∵四邊形OB′C′D′為菱形，∠B′C′D′＝109°28′16'，tan54°44′08'，

∴OC′＝226，B′C′＝3，

∴CC′＝BB′4，

∴S梯形BB′CC′27，

∴S表面積＝63216.

故答案為：216.