Question

【題目】已知數(shù)列中， .

（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；

（2）若是數(shù)列的前項和，求滿足的所有正整數(shù).

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）1和2．

【解析】試題分析：（1）要證明數(shù)列是等比數(shù)列，只需根據(jù)等比數(shù)列的定義，為此設，因此證明為常數(shù)即可；（2）首先要求的通項，由（1）可得出，即，則遞推式可得，由于通項要分類，因此求數(shù)列的和時，我們也分類講解， ，

，這是遞減的，計算發(fā)現(xiàn)，又，同理可得，即滿足題意的只有1和2兩個數(shù)．

試題解析：（Ⅰ）設，

因為

==,

所以數(shù)列是以即為首項，以為公比的等比數(shù)列． 5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，即，

由，得，

所以，

．10分

顯然當時， 單調(diào)遞減，

又當時， ＞0，當時， ＜0，所以當時， ＜0；

，

同理，當且僅當時， ＞0，

綜上，滿足的所有正整數(shù)為1和2． 13分