Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）若，曲線在點處的切線與直線平行，求的值；

（2）若，且函數(shù)的值域為，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）對函數(shù)進行求導(dǎo)得，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得，從而得到關(guān)于的方程，解方程即可得到答案；

（2）當時，，將函數(shù)可化為，則，從而將問題轉(zhuǎn)化為有解，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的值域，從而得到的取值范圍.

（1）當時，，

，

由，

得，

即，

解得或，

當時，，此時直線恰為切線，故舍去，

所以.

（2）當時，，設(shè)，

設(shè)，則，

故函數(shù)可化為.

由,可得

的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，

所以的最小值為，

此時，函數(shù)的的值域為

問題轉(zhuǎn)化為當時，有解，

即，得.

設(shè)，則，

故的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，

所以的最小值為，

故的最小值為．