Question

【題目】已知函數(shù)且的導(dǎo)函數(shù)為。

（1）求函數(shù)的極大值；

（2）若函數(shù)有兩個零點，求a的取值范圍。

（3）在（2）的條件下，求證：

Answer 1

【答案】(1) ；(2)；(3)詳見解析.

【解析】

（1）求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，分析函數(shù)的單調(diào)性，進而可得極大值；

（2）結(jié)合（1）中的單調(diào)性可得，進而利用零點存在定理可說明有兩個零點；

（3）不妨設(shè),結(jié)合條件可得，構(gòu)造，求函數(shù)導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性即可證得.

解：

因為，所以，

當(dāng)時，，在單調(diào)遞增

當(dāng)時，，在單調(diào)遞減

所以當(dāng)時，有極大值.

當(dāng)時，由知在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，有極大值，故若有兩個零點，則必有

令，則在單調(diào)遞增，所以，

所以，則當(dāng)時，

，又

所以在和各有一個零點，所以的取值范圍為

不妨設(shè),則，

.

.

所以

令

所以在單調(diào)遞減，所以