Question

已知sin(

π

8

+

α

2

)cos(

π

8

+

α

2

)=

1

4

，α∈(

π

4

，

π

2

)，cos(β-

π

4

)=

3

5

，β∈(

π

2

，π)
（1）求cos(α+

π

4

)的值；
（2）求cos（α+β）的值．

Answer 1

分析：（1）利用已知條件，通過(guò)二倍角公式以及α的范圍，α+

π

4

的值，即可求出cos(α+

π

4

)的值．
（2）求出sin（β-

π

4

），通過(guò)α+β=(α+

π

4

)+(β-

π

4

)，利用兩角和的余弦函數(shù)展開，代入函數(shù)值求解即可．

解答：解：（1）因?yàn)?span id="sn72tz1" class="MathJye">sin(

π

8

+

α

2

)cos(

π

8

+

α

2

)=

1

4

，所以sin（α+

π

4

）=

1

2

，
因?yàn)?span id="xqpkhvu" class="MathJye">α∈(

π

4

，

π

2

)，所以α+

π

4

=

5π

6

，
所以cos(α+

π

4

)=cos

5π

6

=-

3

2

．
（2）因?yàn)?span id="uubasj7" class="MathJye">cos(β-

π

4

)=

3

5

，β∈(

π

2

，π)，所以sin（β-

π

4

）=

1-( 3 5 )2

=

4

5

，
所以cos（α+β）=cos[(α+

π

4

)+(β-

π

4

)]
=cos(α+

π

4

)cos(β-

π

4

)-sin(α+

π

4

)sin(β-

π

4

)
=-

3

2

×

3

5

-

1

2

×

4

5

=-

4+3 3

10

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二倍角公式、兩角和與差的三角函數(shù)，三角函數(shù)值的求法，注意角的變化技巧的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．