Question

【題目】已知，圖中直棱柱的底面是菱形，其中.又點(diǎn)分別在棱上運(yùn)動(dòng)，且滿(mǎn)足：，.

（1）求證：四點(diǎn)共面，并證明∥平面.

（2）是否存在點(diǎn)使得二面角的余弦值為？如果存在，求出的長(zhǎng)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）不存在點(diǎn)使之成立.見(jiàn)解析

【解析】

(1) 在線(xiàn)段上分別取點(diǎn),使得,進(jìn)而得到與即可.

(2) 以為原點(diǎn),分別以,及過(guò)且與平行的直線(xiàn)為軸建立空間直角坐標(biāo)系,再求解平面的法向量與平面的法向量,再設(shè),,再根據(jù)二面角的計(jì)算方法分析是否存在使得二面角為的余弦值為即可.

解：（1）證法1：在線(xiàn)段上分別取點(diǎn),使得,易知四邊形是平行四邊形,所以,聯(lián)結(jié),

則,且

所以四邊形為矩形,故,同理,

且,故四邊形是平行四邊形,所以,所以

故四點(diǎn)共面

又,平面,平面,

所以平面.

證法2：因?yàn)橹崩庵?/span>的底面是菱形,∴,底面,設(shè)交點(diǎn)為,以為原點(diǎn),分別以,及過(guò)且與平行的直線(xiàn)為軸建立空間直角坐標(biāo)系.則有,,,,設(shè),,則,,,,,,所以,故四點(diǎn)共面.又,平面,平面,所以平面.

（2）平面中向量,,設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則,可得其一個(gè)法向量為.

平面中,,,設(shè)平面的一個(gè)法向量為

,則,所以取其一個(gè)法向量.

若,則,

即有,,解得,故不存在點(diǎn)使之成立.