Question

如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，線段B1D1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，F且EF＝，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是(　　)．

A．AC⊥BE

B．EF∥平面ABCD

C．三棱錐A-BEF的體積為定值

D．異面直線AE，BF所成的角為定值

 

Answer 1

D

【解析】∵AC⊥平面BB1D1D，又BE?平面BB1D1D.∴AC⊥BE，故A正確．∵B1D1∥平面ABCD，又E，F在直線D1B1上運(yùn)動(dòng)，∴EF∥平面ABCD，故B正確．C中，由于點(diǎn)B到直線B1D1的距離不變，故△BEF的面積為定值，又點(diǎn)A到平面BEF的距離為，故VA-BEF為定值．故C正確．

建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，可得A(1,1,0)，B(0,1,0)，

①當(dāng)點(diǎn)E在D1處，點(diǎn)F為D1B1的中點(diǎn)時(shí)，E(1,0,1)，F （，，1），

∴＝(0，－1,1)，＝（，－，1），

∴·＝.又||＝，||＝，

∴cos〈，〉＝＝＝.

∴此時(shí)異面直線AE與BF成30°角．

②當(dāng)點(diǎn)E為D1B1的中點(diǎn)，F在B1處，此時(shí)E（，，1），F(0,1,1)，∴＝（－，－，1），＝(0,0,1)，

∴·＝1，||＝，∴cos〈，〉＝＝，故選D.