Question

平面直角坐標系xOy中，橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），橢圓上、下頂點分別為B₁，B₂．橢圓上關于原點對稱兩點M（m，n），N（-m，-n）和橢圓上異于M，N兩點的任一點P滿足直線PM，PN的斜率之積等于-

1

4

（直線PM，PN都不垂直于x軸），焦點F（c，0）在直線x-2y-

3

=0上，直線y=kx+2與橢圓交于不同兩點S，T．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）求證：直線B₁S與直線B₂T的交點在一條定直線上，并求出這條定直線．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,方程思想,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）設橢圓上點P（x₀，y₀），且點M（m，n），N（-m，-n）在橢圓上，則

x02

a2

+

y02

b2

=1，

m2

a2

+

n2

b2

=1，作差可得

y02-n2

x02-m2

=-

b2

a2

，由k_PM•k_PN=-

1

4

可得a²=4b²，由點F（c，0）在直線x-2y-

3

=0上可求得c=

3

，再由a²=b²+c²可求得結果；
（Ⅱ）由

y=kx+2 x2 4 +y2=1

，得（1+4k²）x²+16kx+12=0，則△＞0，k2＞

3

4

，設點S（x₁，y₁），T（x₂，y₂），則

x1+x2=- 16k 1+4k2 x1x2= 12 1+4k2

，先取兩特殊直線y=x+2，y=-x+2，分別與橢圓方程聯(lián)立可求得點S、T，進而得到B₁S、B₂T的交點，推斷定直線方程y=

1

2

，然后證對任意的k∈（-∞，-

3

2

）∪（

3

2

，+∞），直線B₁S與直線B₂T的交點Q都在定直線l：y=

1

2

上，設直線B₁S與直線l：y=

1

2

交點為Q₀（x₀，y₀），直線B₂T與直線l：y=

1

2

交點為Q₀′（x₀′，y₀′），只需說明Q₀（x₀，y₀）與Q₀′（x₀′，y₀′）重合．

解答： 解：（Ⅰ）設橢圓上點P（x₀，y₀），且點M（m，n），N（-m，-n）在橢圓上，
∴

x02

a2

+

y02

b2

=1，

m2

a2

+

n2

b2

=1，作差得

x02-m2

a2

+

y02-n2

b2

=0，
∴

y02-n2

x02-m2

=-

b2

a2

，
∴k_PM•k_PN=

y0-n

x0-m

•

y0+n

x0+m

=

y02-n2

x02-m2

=-

b2

a2

=-

1

4

，
∴a²=4b²，
又F（c，0）在直線x-2y-

3

=0上，令y=0，得c=

3

，
∴橢圓方程為

x2

4

+y2=1．
證明：（ II）由

y=kx+2 x2 4 +y2=1

，得（1+4k²）x²+16kx+12=0，
∵△＞0，∴k2＞

3

4

，
設點S（x₁，y₁），T（x₂，y₂），則

x1+x2=- 16k 1+4k2 x1x2= 12 1+4k2

，
取直線y=x+2與橢圓

x2

4

+y2=1交于兩點S（-

6

5

，

4

5

），T（-2，0）
直線B₁S：y=

1

6

x+1，B₂T：y=-

1

2

x-1，兩條直線的交點為Q₁（-3，

1

2

），
取直線y=-x+2與橢圓

x2

4

+y2=1交于兩點S（

6

5

，

4

5

），T（2，0）
直線B₁S：y=-

1

6

x+1，B₂T：y=

1

2

x-1，兩條直線的交點為Q₂（3，

1

2

），
若交點在一條直線上則此直線只能為l：y=

1

2

，
驗證對任意的k∈（-∞，-

3

2

）∪（

3

2

，+∞），直線B₁S與直線B₂T的交點Q都在定直線l：y=

1

2

上，
設直線B₁S與直線l：y=

1

2

交點為Q₀（x₀，y₀），直線B₂T與直線l：y=

1

2

交點為Q₀′（x₀′，y₀′），
直線B₁S：y=

y1-1

x1

x+1，B₂T：y=

y2+1

x2

x-1，
由

B1S：y= y1-1 x1 x+1 y= 1 2

⇒Q0(

1

2

•

x1

y1-1

，

1

2

)；由

B2T：y= y2+1 x2 x-1 y= 1 2

⇒Q0′(

3

2

•

x2

y2+1

，

1

2

)，
x₀-x₀′=

1

2

•

4kx1x2+3(x1+x2)

(y2+1)(y1-1)

=

1

2

•

4k• 12 1+4k2 +3• -16k 1+4k2

(y2+1)(y1-1)

=0，
所以點Q₀（x₀，y₀）與Q₀′（x₀′，y₀′）重合，所以交點在直線l：y=

1

2

上．

點評：本題考查橢圓的方程、性質，考查直線與橢圓的位置關系，考查方程思想，聯(lián)立方程組，應用韋達定理是常用知識，要熟練．