Question

【題目】【2017屆廣東省深圳市高三下學期第一次調研考試（一模）數學理】已知函數為自然對數的底數．

（1）求曲線在處的切線方程；

（2）關于的不等式在上恒成立，求實數的值；

（3）關于的方程有兩個實根，求證：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）； （3）見解析．

【解析】（1）對函數求導得，

∴，

又，

∴曲線在處的切線方程為，即；

（2）記，其中，

由題意知在上恒成立，下求函數的最小值，

對求導得，

令，得，

當變化時，變化情況列表如下：

	-	0	+
		極小值

∴，

∴，

記，則，

令，得．

當變化時，變化情況列表如下：

		1
	+	0	-
		極大值

∴，

故當且僅當時取等號，

又，從而得到；

（3）先證，

記，則，

令，得，

當變化時，變化情況列表如下：

	-	0	+
		極小值

∴，

恒成立，即，

記直線分別與交于，

不妨設，則，

從而，當且僅當時取等號，

由（2）知，，則，

從而，當且僅當時取等號，

故，

因等號成立的條件不能同時滿足，故．