Question

【題目】已知過點的動直線與圓： 交于M，N兩點.

（Ⅰ）設(shè)線段MN的中點為P，求點P的軌跡方程;

（Ⅱ）若,求直線的方程.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）或.

【解析】試題分析：（Ⅰ）設(shè)點P的坐標(biāo)為，由，利用坐標(biāo)運算即可得軌跡方程；

（Ⅱ）設(shè)，討論直線與軸垂直和存在斜率時兩種情況，將利用坐標(biāo)運算結(jié)合韋達(dá)定理即可求解.

試題解析：

（Ⅰ）將化為標(biāo)準(zhǔn)方程得: ,

可知圓心C的坐標(biāo)為,半徑,

設(shè)點P的坐標(biāo)為,則,

依題意知,

∴

整理得: ,

∵點A在圓C內(nèi)部, ∴直線始終與圓C相交,

∴點P的軌跡方程為.

（Ⅱ）設(shè),

若直線與軸垂直,則的方程為,代入

得,解得或,

不妨設(shè),則,不符合題設(shè),

設(shè)直線的斜率為,則的方程為,

由消去得: ,

,

則,

由得,

∴ ,

解得: ,

∴當(dāng)時,直線的方程為或