Question

已知（+）ⁿ展開式中偶數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和比（a+b）²ⁿ展開式中奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和小120，求：
（1）（+）ⁿ展開式中第三項(xiàng)的系數(shù)；   
（2）（a+b）²ⁿ展開式的中間項(xiàng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可得2^n-1+120=2^2n-1，求得 n=4．可得（+）ⁿ展開式中第三項(xiàng)為 T₃=•，運(yùn)算求得結(jié)果．
（2）（a+b）²ⁿ 即（a+b）⁸，它的開式的中間項(xiàng)為T₅=•a⁴•b⁴，運(yùn)算求得結(jié)果．
解答：解：（1）由題意可得2^n-1+120=2^2n-1，故有 （2ⁿ-16）（2ⁿ+15）=0，故2ⁿ=16，解得 n=4．
故（+）ⁿ展開式中第三項(xiàng)為 T₃=•=．
（2）（a+b）²ⁿ 即（a+b）⁸，它的開式的中間項(xiàng)為T₅=•a⁴•b⁴=70a⁴b⁴．
點(diǎn)評：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，屬于中檔題．