Question

【題目】已知函數(shù)，且數(shù)列滿足.

（1）若數(shù)列是等差數(shù)列，求數(shù)列的通項公式；

（2）若對任意的，都有成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由已知條件得出，由和可得出關(guān)于和的方程組，解出這兩個量的值，利用等差數(shù)列的通項公式可求得；

（2）推導(dǎo)出，可知數(shù)列中的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別成以為公差的等差數(shù)列，以此求出數(shù)列的通項公式，然后分為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況討論，結(jié)合恒成立，利用參變量分離法可求得的取值范圍.

（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，依題意得，故，

則，解得，

因此，數(shù)列的通項公式為；

（2）由（1）知，當時，，①，，②

兩式相減得，

數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列

又 ，

當為偶數(shù)時，；

當為奇數(shù)時，.

.

因為對任意的都有成立，

當為奇數(shù)時，恒成立，

在為奇數(shù)時恒成立，即，；

同理當為偶數(shù)時，恒成立，

在為偶數(shù)時恒成立，.

綜上所述，的取值范圍是.