Question

已知函數(shù)f（x）=alnx+x²（a為實常數(shù)）．
（1）當a=-4時，求函數(shù)f（x）在[1，e]上的最大值及相應的x值；
（2）當x∈[1，e]時，討論方程f（x）=0根的個數(shù)．
（3）若a＞0，且對任意的x₁，x₂∈[1，e]，都有|f(x1)-f(x2)|≤|

1

x1

-

1

x2

|，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

（1）當a=-4時，f（x）=-4lnx+x²，函數(shù)的定義域為（0，+∞）．
f′(x)=-

4

x

+2x=

2(x+ 2 )(x- 2 )

x

．
當x∈[1，

2

)時，f′（x）0，
所以函數(shù)f（x）在[1，

2

)上為減函數(shù)，在(

2

，e]上為增函數(shù)，
由f（1）=-4ln1+1²=1，f（e）=-4lne+e²=e²-4，
所以函數(shù)f（x）在[1，e]上的最大值為e²-4，相應的x值為e；
（2）由f（x）=alnx+x²，得f′(x)=

a

x

+2x=

2x2+a

x

．
若a≥0，則在[1，e]上f′（x）＞0，函數(shù)f（x）=alnx+x²在[1，e]上為增函數(shù)，
由f（1）=1＞0知，方程f（x）=0的根的個數(shù)是0；
若a＜0，由f′（x）=0，得x=-

- a 2

（舍），或x=

- a 2

．
若

- a 2

≤1，即-2≤a＜0，f（x）=alnx+x²在[1，e]上為增函數(shù)，
由f（1）=1＞0知，方程f（x）=0的根的個數(shù)是0；
若

- a 2

≥e，即a≤-2e²，f（x）=alnx+x²在[1，e]上為減函數(shù)，
由f（1）=1，f（e）=alne+e²=e²+a≤-e²＜0，
所以方程f（x）=0在[1，e]上有1個實數(shù)根；
若1＜

- a 2

＜e，即-2e²＜a＜-2，
f（x）在[1，

- a 2

]上為減函數(shù)，在[

- a 2

，e]上為增函數(shù)，
由f（1）=1＞0，f（e）=e²+a．
f(x)min=f(

- a 2

)=

a

2

ln(-

a

2

)-

a

2

=

a

2

[ln(-

a

2

)-1]．
當-

a

2

＜e，即-2e＜a＜-2時，f(

- a 2

)＞0，方程f（x）=0在[1，e]上的根的個數(shù)是0．
當a=-2e時，方程f（x）=0在[1，e]上的根的個數(shù)是1．
當-e²≤a＜-2e時，f(

- a 2

)＜0，f（e）=a+e²≥0，方程f（x）=0在[1，e]上的根的個數(shù)是2．
當-2e²＜a＜-e²時，f(

- a 2

)＜0，f（e）=a+e²＜0，方程f（x）=0在[1，e]上的根的個數(shù)是1；
（3）若a＞0，由（2）知函數(shù)f（x）=alnx+x²在[1，e]上為增函數(shù)，
不妨設x₁＜x₂，則|f(x1)-f(x2)|≤|

1

x1

-

1

x2

|變?yōu)閒（x₂）+

1

x2

＜f（x₁）+

1

x1

，由此說明函數(shù)G（x）=f（x）+

1

x

在[1，e]單調遞減，所以G′（x）=

a

x

+2x-

1

x2

≤0對x∈[1，e]恒成立，即a≤-2x2+

1

x

對x∈[1，e]恒成立，
而-2x2+

1

x

在[1，e]單調遞減，所以a≤-2e2+

1

e

．
所以，滿足a＞0，且對任意的x₁，x₂∈[1，e]，都有|f(x1)-f(x2)|≤|

1

x1

-

1

x2

|成立的實數(shù)a的取值范圍不存在．