Question

【題目】已知函數(shù).

（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由；

（2）若在上的最小值為3，求實數(shù)的值以及相應(yīng)的的值.

Answer 1

【答案】（1）時，函數(shù)為偶函數(shù)；時，函數(shù)為奇函數(shù)；時，函數(shù)為非奇非偶函數(shù)；理由見解析；（2），

【解析】

（1）分為，，三種情況，探究 與 的關(guān)系，即可知奇偶性；

（2）令，則 在最小值為3，結(jié)合導(dǎo)數(shù)探究當(dāng) 取何值時，函數(shù)取最小值，進而可求出的值以及相應(yīng)的的值.

解：（1）由題意知，的定義域為， ，

當(dāng)時，，則 為偶函數(shù)；

當(dāng)時，，則 為奇函數(shù)；

當(dāng)時，且，故此時為非奇非偶函數(shù).

（2）設(shè) ，由題意知， 在最小值為3.則.

當(dāng) 時，，則 在遞增，此時， 最小值 ，

即 ，解得 與矛盾，故舍去；

當(dāng)時，令，解得或 （舍去）；當(dāng)，即 時，

在恒成立，由之前的討論可知，此時與矛盾，舍去；

當(dāng)，即時，在 上，在上，

所以在上 遞減，在上 遞增，

則當(dāng) 時，有最小值，即 ，解得，此時.