Question

【題目】已知雙曲線(xiàn)的離心率為2，過(guò)點(diǎn)、斜率為1的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于、兩點(diǎn)且，.

（1）求雙曲線(xiàn)方程。

（2）設(shè)為雙曲線(xiàn)右支上動(dòng)點(diǎn)，為雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)，在軸負(fù)半軸上是否存在定點(diǎn)，使得？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析

【解析】

（1）由雙曲線(xiàn)離心率為2知，.

于是，雙曲線(xiàn)方程可化為.

又直線(xiàn)，與雙曲線(xiàn)方程聯(lián)立得

①

設(shè)點(diǎn)，.則

，. ②

因?yàn)?/span>，所以，

.故.

結(jié)合，解得，.

代入式②得

又

，

從而，.

此時(shí)，，代入式①并整理得

.

顯然，該方程有兩個(gè)不同的實(shí)根.

因此，符合要求.故雙曲線(xiàn)的方程為

（2）假設(shè)點(diǎn)存在.由（1）知雙曲線(xiàn)右焦點(diǎn)為.

設(shè)為雙曲線(xiàn)右支上一點(diǎn).

當(dāng)時(shí)，，.

因?yàn)?/span>，所以，.

將代入上式并整理得

.

當(dāng)時(shí)，，而時(shí)，，符合.

所以，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)存在.