Question

【題目】設(shè)整數(shù)模2014互不同余，整數(shù)模2014也互不同余.證明：可將重新排列為，使得模4028互不同余.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

記.不妨設(shè)

.

對每個整數(shù)，若

，

則令；

否則，令.

若為前一種情形， 則

.

若為后一種情形，則

.

若不然，有

，

.

上面兩式相加得

.

于是，.

但模2014（=2k）互不同余，特別地，，矛盾.

由上述構(gòu)造方法知模4k互不同余.即只需證明結(jié)論：對任意整數(shù)，模4k兩兩不同余.

注意到，前面的構(gòu)造方式已保證

. ①

[情形1]，且.

則由前面的構(gòu)造方式知

，

.

由于，故易知與及模2k不同余，與及模2k不同余，從而，模4k更不同余，再結(jié)合式①，結(jié)論得證.

[情形2]，且.

則由前面的構(gòu)造方式知

，

.

同樣有與及模2k不同余，與及模2k不同余.

與情形1相同知結(jié)論得證.

[情形3] ，且（，且的情形與此相同）.

則由前面的構(gòu)造方式知

，

.

由于k為奇數(shù)，則.

故.

因此，與及模2k不同余，與及模2k不同余.從而，結(jié)論得證.

綜上，本題得證.