Question

在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓為
（1）若一直線與橢圓交于兩不同點(diǎn)，且線段恰以點(diǎn)為中點(diǎn)，求直線的方程；
（2）若過點(diǎn)的直線（非軸）與橢圓相交于兩個(gè)不同點(diǎn)試問在軸上是否存在定點(diǎn)，使恒為定值？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)及實(shí)數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

（1）；（2）在軸上存在定點(diǎn)，使恒為定值。

本試題主要是考查了直線與圓的位置關(guān)系綜合運(yùn)用。
（1）點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，直線與橢圓必有公共點(diǎn)
再利用點(diǎn)差法得到中點(diǎn)坐標(biāo)與直線斜率的關(guān)系式，
（2）假定存在定點(diǎn)，使恒為定值
由于直線不可能為軸
于是可設(shè)直線的方程為且設(shè)點(diǎn)
將代入得到一元二次方程，進(jìn)而利用向量的關(guān)系得到參數(shù)的值。
解：（1）點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，直線與橢圓必有公共點(diǎn)
設(shè)點(diǎn)，由已知，則有
兩式相減，得
而直線的斜率為
直線的方程為
（2） 假定存在定點(diǎn)，使恒為定值
由于直線不可能為軸
于是可設(shè)直線的方程為且設(shè)點(diǎn)
將代入得
.
顯然
，
則


若存在定點(diǎn)使為定值（與值無關(guān)），則必有

在軸上存在定點(diǎn)，使恒為定值