Question

【題目】已知函數(shù),.

（1）若,函數(shù)在區(qū)間上的最大值是，最小值是,求的值；

（2）用定義法證明在其定義域上是減函數(shù)；

（3）設, 若對任意，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析（3）

【解析】

（1）分析二次函數(shù)的單調性，可得出函數(shù)在區(qū)間上的最大值，可列出有關、的方程組，即可求出與的值；

（2）任取，作差，利用指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調性得出差值的正負，從而證明函數(shù)在定義域上的單調性；

（3）根據(jù)題意得出，根據(jù)（1）和（2）中兩個函數(shù)的單調性，得出這個最值，然后解出不等式可得出的取值范圍。

（1）函數(shù)的對稱軸是.

,所以，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上

是減函數(shù).

. ①

又分析知, ②聯(lián)立① ②解得.

（2）函數(shù)的定義域為.

設.

因為,

又有，所以，

,即.

所以，函數(shù)在其定義域上是減函數(shù).

（3）對任意，不等式恒成立,

.

由(2)知在區(qū)間上是減函數(shù),

且.

若,則在區(qū)間上是增函數(shù),

,

.

若,則,顯然成立;

若,則在區(qū)間上是減函數(shù),

,

,.

綜上,實數(shù)的取值范圍是.