Question

定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（0）=0，f（x）+f（1-x）=1，f（

x

3

）=

1

2

f（x），且當(dāng)0≤x₁＜x₂≤1時，f（x₁）≤f（x₂），則f（

1

2014

）的值為（　�。�

• A、

  1

  256

• B、

  1

  128

• C、

  1

  64

• D、

  1

  32

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由已知f（0）=0，f（x）+f（1-x）=1，f（

x

3

）=

1

2

f（x），可以求出f（1）=1，及f（

1

3

）=f（

2

3

)=

1

2

，再反復(fù)利用f（

x

3

）=

1

2

f（x），得到f（

1

2187

）=f（

2

2187

）=

1

128

，最后利用當(dāng)0≤x₁＜x₂≤1時，f（x₁）≤f（x₂）得到f（

1

2014

）=

1

128

．（因為不能利用f（1）=1及f（

x

3

）=

1

2

f（x）直接求出f（

1

2014

），所以考慮利用兩邊夾的方法求f（

1

2014

）．）

解答： 解：由f（0）=0，f（x）+f（1-x）=1，可得f（0）+f（1-0）=1，所以f（1）=1，
因為f（

x

3

）=

1

2

f（x），所以f(

1

3

)=

1

2

，f(

2

3

)=

1

2

且f（x）=2f（

x

3

）=2²f（

x

32

）=2³f（

x

33

）=…=2ⁿf（

x

3n

），
所以f(

1

3

)=2⁶f（

1

37

）=2⁶f（

1

2187

），同理f（

2

3

）=2⁶f(

2

37

)=2⁶f（

2

2187

），
所以f（

1

2187

）=f（

2

2187

）=

1

128

，
又因為

1

2187

＜

1

2014

＜

2

2187

，由已知，所以f(

1

2187

)≤f(

1

2014

)≤f(

2

2187

)，
所以f(

1

2014

)=

1

128

．
故選B

點評：這道題考查了抽象函數(shù)，運用了賦值法、迭代法、兩邊夾的性質(zhì)求解，對學(xué)生的邏輯推理能力有很高的要求，有一定難度．