Question

【題目】已知，函數(shù)．

（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅱ）若函數(shù)有兩個相異零點， ，求證： ．(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析; （Ⅱ）見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）由題意得，分和兩種情況分類討論，即可求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）要證： ，即證，不妨設(shè)，∵， 是函數(shù)的零點， 化簡，則轉(zhuǎn)化為證： ，構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性與最值，即可作出證明.

試題解析：（Ⅰ） 的定義域為， ，

�、� 當(dāng)時， 恒成立， 在上單調(diào)遞增，

② 當(dāng)時，令，解得，

時， ， 在單調(diào)遞增，

時， ， 在單調(diào)遞減，

綜上所述，當(dāng)時， 在上單調(diào)遞增，

當(dāng)時， 在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

（Ⅱ）證法一 要證： ，則證，

即證，

不妨設(shè)，∵， 是函數(shù)的零點，則， ，

　所以， ，

所以， ，

則，

則轉(zhuǎn)化為證： ，令，則，

于是即證： ，可化為，即證，

構(gòu)造函數(shù)， ，

令，則，則在單增，則，

則，則在單增，則，即成立，

所以成立.

證法二 的定義域為，要證： ，則證，

即證，令， ，

即證，也即證，

因為， 是函數(shù)的相異零點，則， ，

所以，即，所以， ，

所以，

不妨設(shè)，則，令（），

要證，則轉(zhuǎn)化為證（其中），即證，……10分

令（），則，

，∴在上單調(diào)遞增，∴，

∴在上單調(diào)遞增，∴，即成立，

從而原命題成立

證法三 的定義域為 ，要證： ，則證，

即證，令， ， ，

則轉(zhuǎn)化為證明命題“函數(shù)有兩個相異的零點， ，求證”，……6分

∵，

①當(dāng)時， ，所以在上單調(diào)遞增，此時沒有兩個零點，不合題意；

②當(dāng)時，令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

要使有兩個相異零點，則，解得；

且時， ， 時， ，

不妨設(shè)，要證，即證，

而，所以， ，

而函數(shù)在上單調(diào)遞增，要證，只要證，而，即證，

由于，而，即，

∴（），記（），

∴，

令（），則，

∴在上單調(diào)遞增，則，

∴，∴在上單調(diào)遞減，則，即成立，

從而原命題成立 .