Question

【題目】已知函數(shù)

(1)若關(guān)于的方程有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根,求的取值范圍；

(2)若關(guān)于的不等式對任意恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根據(jù)對數(shù)相等條件可將方程化為；令，，可將方程進(jìn)一步整理為；當(dāng)時(shí)，可驗(yàn)證知不合題意；當(dāng)時(shí)，求得，進(jìn)而得到；利用和對數(shù)真數(shù)大于零的要求可構(gòu)造不等式求得結(jié)果；

（2）根據(jù)對數(shù)函數(shù)單調(diào)性可將恒成立的不等式可化為，利用絕對值不等式的解法可得且對恒成立；利用分離變量法將問題轉(zhuǎn)化為與函數(shù)最值的大小關(guān)系，通過求解函數(shù)最值得到結(jié)果.

（1）由題意得：

整理可得：

設(shè)，，則原方程可化為：

即：

當(dāng)，即時(shí)，原方程可化為，不存在兩個(gè)不等實(shí)根

的兩根為：，

即，

若原方程有兩個(gè)不等實(shí)根，則，解得：且

又，

且，解得：

的取值范圍為

（2）由題意得：對任意恒成立

，即

由得：

當(dāng)時(shí)，（當(dāng)時(shí)取最小值）

由得：

當(dāng)時(shí)，（當(dāng)時(shí)取最大值） ，即

綜上所述：的取值范圍為