Question

【題目】已知數列滿足．

（1）求數列的通項公式；

（2）對任意給定的，是否存在（）使成等差數列？若存

在，用分別表示和（只要寫出一組）；若不存在，請說明理由；

（3）證明：存在無窮多個三邊成等比數列且互不相似的三角形，其邊長為．

Answer 1

【答案】（1）; （2）當時，不存在p，r；當時，存在滿足題設；（3）證明見解析.

【解析】

（1）由可求出數列的通項公式；（2）分和兩種情況討論，根據題中條件求出，，的大小關系，再設，即可用表示和；（3）構造三角形三邊分別為，，，然后用反證法證明任意兩個三角形互不相似，本題得證

（1）當時，；

當時，，

所以；

綜上所述，．

（2）當時，若存在p，r使成等差數列，則，

因為，所以，與數列為正數相矛盾，因此，當時不存在；

當時，設，則，所以，

令，得，此時，，

所以，，

所以；

綜上所述，當時，不存在p，r；當時，存在滿足題設.

（3）作如下構造：，其中，

它們依次為數列中的第項，第項，第項，

顯然它們成等比數列，且，，所以它們能組成三角形．

由的任意性，這樣的三角形有無窮多個．

下面用反證法證明其中任意兩個三角形和不相似：

若三角形和相似，且，則，

整理得，所以，這與條件相矛盾，

因此，任意兩個三角形不相似．故命題成立．