Question

函數(shù)f（x）=

1

3

x³+mx²+nx（m＞0）在x=1處取到極值：f′（x）的最小值為-4．
（1）求m、n的值及f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）試分別求方程f（x）-c=0在區(qū)間[-4，1]上有一根；有兩根時(shí)C的范圍．

Answer 1

分析：（1）先由導(dǎo)數(shù)知識(shí)求出f′（x），然后利用配方法把二次函數(shù)f′（x）表示成頂點(diǎn)式，再根據(jù)g（x） 在x=1處取得極值，f′（x）的最小值為-4可列方程組求得m、n的值，代入f′（x）中，即可求得f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）由（1）可知函數(shù)f（x）在區(qū)間[-4，1]的圖象變化情況，根據(jù)函數(shù)圖象即可求得結(jié)論．

解答：解：（1）由題意得f′（x）=x²+2mx+n=（x+m）²+n-m²，
又f（x） 在x=1處取得極值，f′（x）的最小值為-4．
所以

2m+1+n=0 n-m2=-4

，解得m=1，n=-3．
所以f′（x）=x²+2x-3，
由f′（x）=x²+2x-3＞0得：x＞1或x＜-3．
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-3），（1，+∞），
由f′（x）=x²+2x-3＜0得：-3＜x＜1．
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-3，1）；
（2）由題意得f（x）=

1

3

x³+x²-3x，
f（-4）=

20

3

，f（-3）=9，f（1）=-

5

3

，
當(dāng)方程f（x）-c=0在區(qū)間[-4，1]上有一根時(shí)，c∈[-

5

3

，

20

3

）∪{9}，
當(dāng)方程f（x）-c=0在區(qū)間[-4，1]上有兩根時(shí)，c∈[

20

3

，9）．

點(diǎn)評(píng)：此題是中檔題．考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值問題，以及函數(shù)圖象的變化情況，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化的思想，考查了學(xué)生靈活應(yīng)用知識(shí)分析解決問題的能力．