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        1. 【題目】已知函數(shù).

          1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

          2)當(dāng)函數(shù)與函數(shù)圖象的公切線l經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)時,求實數(shù)a的取值集合;

          3)證明:當(dāng)時,函數(shù)有兩個零點(diǎn),,且滿足.

          【答案】1)單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為;(2;(3)見解析

          【解析】

          1)利用導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)性;(2)先求出公切線的方程,再探討的取值范圍;(3)先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,證明零點(diǎn)個數(shù).再使用函數(shù)思想,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性解決不等式問題.

          1)對求導(dǎo),得,

          ,解得,

          當(dāng)時,,單調(diào)遞增.

          當(dāng)時,單調(diào)遞減.

          2)設(shè)公切線與函數(shù)的切點(diǎn)為,,則公切線的斜率,

          公切線的方程為:,將原點(diǎn)坐標(biāo)代入,得,解得

          公切線的方程為:,將它與聯(lián)立,整理得

          ,對之求導(dǎo)得:,令,解得

          當(dāng)時,單調(diào)遞減,值域為

          當(dāng)時,,單調(diào)遞增,值域為,

          由于直線與函數(shù)相切,即只有一個公共點(diǎn),因此.

          故實數(shù)的取值集合為

          3)證明:,要證有兩個零點(diǎn),只要證有兩個零點(diǎn)即可.1,

          時函數(shù)的一個零點(diǎn).

          求導(dǎo)得:,令,解得.當(dāng)時,,單調(diào)遞增;

          當(dāng)時,,單調(diào)遞減.當(dāng)時,取最小值,

          ,必定存在使得二次函數(shù),

          .因此在區(qū)間上必定存在的一個零點(diǎn).

          綜上所述,有兩個零點(diǎn),一個是,另一個在區(qū)間上.

          下面證明

          由上面步驟知有兩個零點(diǎn),一個是,另一個在區(qū)間上.

          不妨設(shè),,下面證明即可.

          ,對之求導(dǎo)得,

          a)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減,,即

          證明完畢.

          練習(xí)冊系列答案
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          A.乙分8兩,丙分8兩,丁分8B.乙分82錢,丙分8兩,丁分78

          C.乙分92錢,丙分8兩,丁分68D.乙分9兩,丙分8兩,丁分7

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          周光照量(單位:小時)

          光照控制儀最多可運(yùn)行臺數(shù)

          3

          2

          1

          若某臺光照控制儀運(yùn)行,則該臺光照控制儀周利潤為3000元;若某臺光照控制儀未運(yùn)行,則該臺光照控制儀周虧損1000元若商家安裝了3臺光照控制儀,求商家在過去50周周總利潤的平均值.

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