Question

已知f(x)=-

1

2

ax2+x-ln(1+x)，其中a＞0．
（1）若x=3是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，求a的值；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若f（x）在[0，+∞）上的最大值是0，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）對(duì)f（x）求導(dǎo)函數(shù)f′（x），由f′（3）=0，求得a的值；
（2）求f（x）導(dǎo)函數(shù)f′（x），討論a的值對(duì)應(yīng)f′（x）與f（x）的變化情況，從而確定f（x）的單調(diào)增區(qū)間和單調(diào)減區(qū)間；
（3）根據(jù)（2）中f（x）的單調(diào)性求出f（x）在（0，+∞）的最大值是否為f（0）=0，從而確定a的取值范圍．

解答：解：（1）∵f(x)=-

1

2

ax2+x-ln(1+x)，其中a＞0，
∴f′（x）=-ax+1-

1

1+x

=

-ax2-(a-1)x

x+1

，其中x∈（-1，+∞）；
∵f′（3）=0，即-9a-3（a-1）=0，解得a=

1

4

，
∴a的值是a=

1

4

；
（2）令f′（x）=0，得

-ax2-(a-1)x

x+1

=0，其中x∈（-1，+∞）；
即ax²+（a-1）x=0，解得x₁=0，x₂=

1

a

-1；
①當(dāng)0＜a＜1時(shí)，x₁＜x₂，f（x）與f′（x）的變化情況如下表：

x	（-1，0）	0	(0， 1 a -1)	1 a -1	( 1 a -1，+∞)
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	減	f（0）	增	f( 1 a -1)	減

∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間是(0，

1

a

-1)，f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（-1，0），(

1

a

-1，+∞)；
②當(dāng)a=1時(shí)，f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（-1，+∞）；
③當(dāng)a＞1時(shí)，-1＜x₂＜0，f（x）與f′（x）的變化情況如下表：

x	(-1， 1 a -1)	1 a -1	( 1 a -1，0)	0	（0，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	減	f( 1 a -1)	增	f（0）	減

∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間是(

1

a

-1，0)，f（x）的單調(diào)減區(qū)間是(-1，

1

a

-1)，（0，+∞）；
綜上，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間是(0，

1

a

-1)，f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（-1，0），(

1

a

-1，+∞)；
當(dāng)a=1時(shí)，f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（-1，+∞）；
當(dāng)a＞1，f（x）的單調(diào)增區(qū)間是(

1

a

-1，0)．f（x）的單調(diào)減區(qū)間是(-1，

1

a

-1)，（0，+∞）；
（3）由（2）知，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）在（0，+∞）的最大值是f(

1

a

-1)，但f(

1

a

-1)＞f(0)=0，所以0＜a＜1不合題意；
當(dāng)a≥1時(shí)，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，f（x）≤f（0），
∴f（x）在[0，+∞）上的最大值為f（0）=0，符合題意；
∴f（x）在[0，+∞）上的最大值為0時(shí)，a的取值范圍是{a|a≥1}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)的最值問題，是較難的題目．