如圖,菱形

的邊長為4,

,

.將菱形

沿對角線

折起,得到三棱錐

,點

是棱

的中點,

.

(1)求證:

平面

;
(2)求證:平面


平面

;
(3)求二面角

的余弦值.
(1)詳見解析;(2)詳見解析;(3)

.
試題分析:(1)利用三角形的中位線平行于相應的底邊證明

,然后結合直線與平面平行的判定定理即可證明

平面

;(2)先利用翻折時

與

的相對位置不變證明

,然后利用勾股定理證明

,并結合直線與平面垂直的判定定理先證明

平面

,最終利用平面與平面垂直的判定定理證明平面

平面

;(3)作

,連接

,利用(2)中的結論

平面

,先證明

平面

,進而說明

為二面角

的平面角,然后在

中計算

,即可計算二面角

的余弦值.
試題解析:(1)因為O為AC的中點,M為BC的中點,所以

.
因為

平面ABD,

平面ABD,所以

平面

.
(2)因為在菱形ABCD中,

,所以在三棱錐

中,

.
在菱形ABCD中,AB=AD=4,

,所以BD=4.因為O為BD的中點,
所以

.因為O為AC的中點,M為BC的中點,所以

.
因為

,所以

,即

.
因為

平面ABC,

平面ABC,

,所以

平面ABC.
因為

平面DOM,所以平面


平面

.
(3)作

于

,連結DE.由(2)知,

平面ABC,所以

AB.
因為

,所以

平面ODE.因為

平面ODE,所以

.
所以

是二面角

的平面角.
在Rt△DOE中,

,

,

,
所以

.所以二面角

的余弦值為

.
練習冊系列答案
相關習題
科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
如圖,已知三棱錐

的側棱與底面垂直,

,

, M、N分別是

的中點,點P在線段

上,且

,

(1)證明:無論

取何值,總有

.
(2)當

時,求平面

與平面

所成銳二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
在如圖所示的幾何體中,四邊形

均為全等的直角梯形,且

,

.

(Ⅰ)求證:

平面

;
(Ⅱ)求二面角

的余弦值.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
如圖,三棱錐

中,

底面

,

,

,

為

的中點,點

在

上,且

.

(Ⅰ)求證:平面

平面

;
(Ⅱ)求平面

與平面

所成的二面角的平面角(銳角)的余弦值.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
如圖,四棱柱

中,

平面

.

(Ⅰ)從下列①②③三個條件中選擇一個做為

的充分條件,并給予證明;
①

,②

;③

是平行四邊形.
(Ⅱ)設四棱柱

的所有棱長都為1,且

為銳角,求平面

與平面

所成銳二面角

的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
如圖,在三棱柱ABC-A
1B
1C
1中,AA
1C
1C是邊長為4的正方形.平面ABC⊥平面AA
1C
1C,AB=3,BC=5.

(Ⅰ)求證:AA
1⊥平面ABC;
(Ⅱ)求二面角A
1-BC
1-B
1的余弦值;
(Ⅲ)證明:在線段BC
1存在點D,使得AD⊥A
1B,并求

的值.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
對兩條不相交的空間直線a與b, 必存在平面a, 使得( )
A. aÌa, bÌa | B.aÌa, b//a | C. a^a, b^a | D.aÌa, b^a |
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
已知命題“直線

與平面

有公共點”是真命題,那么下列命題:
①直線

上的點都在平面

內;
②直線

上有些點不在平面

內;
③平面

內任意一條直線都不與直線

平行.
其中真命題的個數(shù)是( )
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
已知命題

,

為直線,

為平面,若

∥

,

,則

∥

;命題

若

,則

,則下列命題為真命題的是( )
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