Question

【題目】設(shè)函數(shù)，給定數(shù)列，其中,.

（1）若為常數(shù)數(shù)列，求a的值；

（2）當(dāng)時(shí)，探究能否是等比數(shù)列？若是，求出的通項(xiàng)公式；若不是，說明理由；

（3）設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，當(dāng)a=1時(shí)，求證：.

Answer 1

【答案】(1)a=0或；（2）①見解析；(3)見詳解.

【解析】

(1)數(shù)列是常數(shù)數(shù)列即有 ,再利用可得關(guān)于a的等式;

(2)由可得數(shù)列的遞推關(guān)系式,然后取倒數(shù),化解為,討論首項(xiàng)a是否為零,確定數(shù)列是否為等比數(shù)列;

(3)由(2)求得數(shù)列,通過放縮法將數(shù)列再利用錯(cuò)位相減法即可證明.

（1） 為常數(shù)列，則，

由得 即

解得：a=0或.

（2）,

當(dāng)時(shí)，，得

①當(dāng)時(shí)，不是等比數(shù)列.

②當(dāng) 時(shí)，是以2為公比，以為首項(xiàng)的等比數(shù)列，

所以， .

（3）當(dāng)時(shí)， ,

設(shè) ①

②

①-②得

所以

所以