Question

已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，焦點(diǎn)是，點(diǎn)到直線的距離為，過點(diǎn)且傾斜角為銳角的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，使得|=3|.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；         
(2)求直線l的方程．

Answer 1

(1) ＋y²＝1；(2) x－y－＝0.

解析試題分析：(1)∵F₁到直線的距離為，∴.
∴a²＝4而c＝，∴b²＝a²－c²＝1.
∵橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，∴所求橢圓的方程為＋y²＝1  4分
(2)設(shè)A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)．由第(1)問知
=3,
∴           6分
∵A、B在橢圓＋y²＝1上，                 
∴l(xiāng)的斜率為
∴l(xiāng)的方程為，即x－y－＝0.   12分
說明：各題如有其它解法可參照給分．
考點(diǎn)：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)，定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式，直線方程。
點(diǎn)評(píng)：中檔題，涉及求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程問題，往往聯(lián)想橢圓的定義，a，b，c，e的關(guān)系。求直線方程，這里運(yùn)用了點(diǎn)斜式，為求直線的斜率，應(yīng)用定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式及“點(diǎn)差法”。