Question

【題目】湖南省會城市長沙又稱星城，是楚文明和湖湘文化的發(fā)源地，是國家首批歷史文化名城.城內(nèi)既有岳麓山、橘子洲等人文景觀，又有岳麓書院、馬王堆漢墓等名勝古跡，每年都有大量游客來長沙參觀旅游.為合理配置旅游資源，管理部門對首次來岳麓山景區(qū)游覽的游客進行了問卷調(diào)查，據(jù)統(tǒng)計，其中的人計劃只游覽岳麓山，另外的人計劃既游覽岳麓山又參觀馬王堆.每位游客若只游覽岳麓山，則記1分；若既游覽岳麓山又參觀馬王堆，則記2分.假設(shè)每位首次來岳麓山景區(qū)游覽的游客計劃是否參觀馬王堆相互獨立，視頻率為概率.

（1）從游客中隨機抽取3人，記這3人的合計得分為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（2）從游客中隨機抽取人（），記這人的合計得分恰為分的概率為，求；

（3）從游客中隨機抽取若干人，記這些人的合計得分恰為分的概率為，隨著抽取人數(shù)的無限增加，是否趨近于某個常數(shù)？若是，求出這個常數(shù)；若不是，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）分布列見解析，；（2）；（3）是常數(shù)

【解析】

（1）據(jù)題意，每位游客計劃不參觀馬王堆的概率為，參加馬王堆的概率為，的可能取值為3，4，5，6，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出的分布列和．

（2）這人的合計得分為分，則其中只有1人計劃參觀馬王堆，從而，設(shè)，利用錯位相減法能求出．

（3）在隨機抽取的若干人的合計得分為分的基礎(chǔ)上再抽取1人，則這些人的合計得分可能為分或分，記“合計得分“為事件，“合計得分”為事件，與是對立事件，推導(dǎo)出，由此能求出隨著抽取人數(shù)的無限增加，趨近于常數(shù)．

解：（1）據(jù)題意，每位游客計劃不參觀馬王堆的概率為，記1分；參觀馬王堆的概率為，記2分，則的可能取值為3，4，5，6.

其中，，，.

所以的分布列為

	3	4	5	6

.

（2）因為這人的合計得分為分，則其中有且只有1人計劃參觀馬王堆，

所以.

設(shè)，則.

兩式相減，得，

所以.

（3）在隨機抽取若干人的合計得分為分的基礎(chǔ)上再抽取1人，則這些人的合計得分可能為分或

分，記“合計得分”為事件，“合計得分”為事件，則與為對立事件.

因為，，則（），即（）.

因為，則數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，

即.

因為，則時，，從而，

所以隨著抽取人數(shù)的無限增加，趨近于常數(shù).