Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)F為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在拋物線(xiàn)E上，

點(diǎn)B在x軸上，且是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形。

（1）求拋物線(xiàn)E的方程；

（2）設(shè)C是拋物線(xiàn)E上的動(dòng)點(diǎn)，直線(xiàn)為拋物線(xiàn)E在點(diǎn)C處的切線(xiàn)，求點(diǎn)B到直線(xiàn)距離的最小值，并求此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)。

Answer 1

【答案】（1）（2）最小值為2，

【解析】

（1）先求出p的值，即得拋物線(xiàn)的方程.(2)

設(shè)點(diǎn)，求出直線(xiàn)的方程為，再求得點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為

，再利用基本不等式求函數(shù)的最小值及其點(diǎn)C的坐標(biāo)．

（1）因?yàn)?/span>是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，所以，

將代入得，，

解得或（舍去）.

所以?huà)佄锞�(xiàn)的方程.

(2)設(shè)點(diǎn)，直線(xiàn)的方程為，

由，得，

因?yàn)橹本�(xiàn)為拋物線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)，

所以，解得，

所以直線(xiàn)的方程為，

所以點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為

，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得最小值2，此時(shí).