Question

【題目】如圖，在四棱錐中，面，，，，，是的中點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】(1)詳見解析;(2) .

【解析】

試題（1）取中點(diǎn)連結(jié). ，推導(dǎo)出四邊形 是平行四邊形，從而由此能證明平面．
（2）到面的距離等于到面的距離的一半，且，從而三棱錐的高是2，由此能求出三棱錐的體積．

試題解析：(1)如圖，取PB中點(diǎn)M，連結(jié)AM，MN.

∵MN是△BCP的中位線,∴MN∥BC，且MN=BC.

依題意得,ADBC,則有ADMN

∴四邊形AMND是平行四邊形,∴ND∥AM

∵ND面PAB，AM面PAB，

∴ND∥面PAB

(2)∵N是PC的中點(diǎn)，

∴N到面ABCD的距離等于P到面ABCD的距離的一半，且PA⊥面ABCD，PA=4，

∴三棱錐NACD的高是2.

在等腰△ABC中,AC=AB=3,BC=4,BC邊上的高為.

BC∥AD,∴C到AD的距離為，

∴S△ADC=.

∴三棱錐NACD的體積是.