Question

【題目】已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù).

（1）求a，b的值；

（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并用定義證明；

（3）當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)k的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），；（2）單調(diào)遞減，見解析；（3）

【解析】

（1）根據(jù)得到，根據(jù)計算得到，得到答案.

（2）化簡得到，，計算，得到是減函數(shù).

（3）化簡得到，參數(shù)分離，求函數(shù)的最小值得到答案.

（1）因為在定義域R上是奇函數(shù).所以，

即，所以．又由，即，

所以，檢驗知，當(dāng)，時，原函數(shù)是奇函數(shù).

（2）在上單調(diào)遞減.證明：由（1）知，

任取，設(shè)，則，

因為函數(shù)在上是增函數(shù)，且，所以，又，

所以，即，

所以函數(shù)在R上單調(diào)遞減.

（3）因為是奇函數(shù)，從而不等式等價于，

因為在上是減函數(shù)，由上式推得，

即對一切有恒成立，設(shè)，

令，

則有，，所以，

所以，即的取值范圍為.