【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線
的焦點(diǎn)F在直線
上。
(Ⅰ)求拋物線C的方程。
(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)做互相垂直的兩條直線
與曲線C交于A,B兩點(diǎn),
與曲線C交于E,F兩點(diǎn),線段AB、EF的中點(diǎn)分別為M、N,求證:直線MN過(guò)定點(diǎn)P,并求出定點(diǎn)P的坐標(biāo)。
【答案】(Ⅰ); (Ⅱ)直線
過(guò)定點(diǎn)
,其坐標(biāo)為
.
【解析】
(Ⅰ)由拋物線的焦點(diǎn)
在直線
上,求得焦點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而得出
,即可求解拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)設(shè)直線的方程為
,聯(lián)立方程組,利用根與系數(shù)的關(guān)系,求解點(diǎn)
的坐標(biāo),分類討論,即可求解.
(Ⅰ)拋物線
的焦點(diǎn)
在直線
上,
為
,
即
,
拋物線
的方程為
.
(Ⅱ)易知直線,
的斜率存在且不為0,設(shè)直線
的斜率為
,
,
,
則直線:
,
,
由得
,
,
∴,
,
∴.同理得
.
當(dāng)或
時(shí),直線
的方程為
;
當(dāng)且
時(shí),直線
的斜率為
,
∴直線的方程為
,即
,
∴直線過(guò)定點(diǎn)
,其坐標(biāo)為
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
且
.
(1)求實(shí)數(shù)的值;
(2)判斷函數(shù)在區(qū)間
上的單調(diào)性,并用函數(shù)單調(diào)性的定義證明;
(3)求實(shí)數(shù)的取值范圍,使得關(guān)于
的方程
分別為:
①有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解;②有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解;③有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點(diǎn)
為極點(diǎn),以
軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,直線
的極坐標(biāo)方程為
,
的極坐標(biāo)方程為
.
(1)求直線與
的交點(diǎn)的軌跡
的方程;
(2)若曲線上存在4個(gè)點(diǎn)到直線
的距離相等,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知與
分別是邊長(zhǎng)為1與2的正三角形,
,四邊形
為直角梯形,且
,
,點(diǎn)
為
的重心,
為
中點(diǎn),
平面
,
為線段
上靠近點(diǎn)
的三等分點(diǎn).
(Ⅰ)求證: 平面
;
(Ⅱ)若二面角的余弦值為
,試求異面直線
與
所成角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知定義域?yàn)?/span>的函數(shù)
是奇函數(shù).
(1)求a,b的值;
(2)判斷函數(shù)的單調(diào)性,并用定義證明;
(3)當(dāng)時(shí),
恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)滿足
.
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),解不等式
;
(Ⅱ)若關(guān)于x的方程的解集中有且只有一個(gè)元素,求a的值;
(Ⅲ)設(shè),若對(duì)
,函數(shù)
在區(qū)間
上的最大值與最小值的差不超過(guò)1,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線C:y2=2px過(guò)點(diǎn)P(1,1).過(guò)點(diǎn)(0, )作直線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)M,N,過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線分別與直線OP,ON交于點(diǎn)A,B,其中O為原點(diǎn).
(Ⅰ)求拋物線C的方程,并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程;
(Ⅱ)求證:A為線段BM的中點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某中學(xué)組織了一次高二文科學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平模擬測(cè)試,學(xué)校從測(cè)試合格的男、女生中各隨機(jī)抽取100人的成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,分別制成了如圖所示的男生和女生數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖.
(Ⅰ)若所得分?jǐn)?shù)大于等于80分認(rèn)定為優(yōu)秀,求男、女生優(yōu)秀人數(shù)各有多少人?
(Ⅱ)在(Ⅰ)中的優(yōu)秀學(xué)生中用分層抽樣的方法抽取5人,從這5人中任意任取2人,求至少有一名男生的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】[2018·郴州期末]已知三棱錐中,
垂直平分
,垂足為
,
是面積為
的等邊三角形,
,
,
平面
,垂足為
,
為線段
的中點(diǎn).
(1)證明:平面
;
(2)求與平面
所成的角的正弦值.
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