Question

從一塊圓心角為

2π

3

，半徑為R的扇形鋼板上切割一塊矩形鋼板，請(qǐng)問(wèn)怎樣設(shè)計(jì)切割方案，才能使矩形面積最大？并說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式,扇形面積公式

專(zhuān)題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：對(duì)甲種裁法分析設(shè)OE=a，EF=b，則得出面積，利用基本不等式求最值的方法求出最大面積；對(duì)乙種裁法分析設(shè)∠COB=θ，利用三角函數(shù)表示出長(zhǎng)為2Rsin（60°-θ），用正弦定理，表示BC，進(jìn)而表示出面積，比較看哪個(gè)面積大即可．

解答： 解：方案一：GF∥ON
設(shè)OE=a，EF=b，S矩形OEFG=OE×EF=ab≤

a2+b2

2

，a²+b²=R²
當(dāng)a=b時(shí)，S_矩形OEFG的最大值為

R2

2

．


方案二：AB∥MN

設(shè)∠COB=θ，(0＜θ＜

π

3

)AB=2OCsin(

π

3

-θ)=2Rsin(

π

3

-θ)
在△BOC中運(yùn)用正弦定理，

OC

sin∠OBC

=

BC

sin∠BOC

∠OBC=

2π

3

，

R

sin 2π 3

=

BC

sinθ

，BC=

2Rsinθ

3

，
S_矩形ABCD=AB×CD=

2Rsinθ

3

2Rsin(

π

3

-θ)，
令y=sinθsin(

π

3

-θ)=-

1

2

[cos(θ+

π

3

-θ)-cos(θ-

π

3

+θ)]=

1

2

cos(2θ-

π

3

)-

1

4

，當(dāng)θ=

π

6

時(shí)，ymax=

1

4

，
S_矩形OEFG的最大值

R2

3

=

3 R2

3

而

3 R2

3

＞

R2

2

故選方案二才能使矩形面積最大．

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生根據(jù)實(shí)際問(wèn)題選擇函數(shù)類(lèi)型的能力，以及運(yùn)用兩角和與差的正弦函數(shù)的能力，求正弦函數(shù)最值的能力．