Question

【題目】在矩形中，，，點(diǎn)是線段上靠近點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且.如圖，將沿折起至，使得平面平面.

（1）當(dāng)時(shí)，求證：；

（2）是否存在，使得與平面所成的角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析(2)

【解析】試題分析: (1) 當(dāng)時(shí)，點(diǎn)是的中點(diǎn),由已知證出,根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理證得平面,進(jìn)而證得結(jié)論;(2) 以為原點(diǎn)，的方向?yàn)?/span>軸，軸的正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.寫(xiě)出各點(diǎn)坐標(biāo),求出平面的法向量,根據(jù)線面角的公式求出結(jié)果.

試題解析:

（1）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)是的中點(diǎn).

∴，.

∵，∴.

∵，，，

∴.

∴.

又平面平面，平面平面，平面，

∴平面.

∵平面，∴.

（2）以為原點(diǎn)，的方向?yàn)?/span>軸，軸的正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.

則，，.

取的中點(diǎn)，

∵，∴，

∴ 易證得平面，

∵，∴，∴.

∴，，.

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則

令，則.

設(shè)與平面所成的角為，

則

，

解得或（舍去）

∴存在實(shí)數(shù)，使得與平面所成的角的正弦值為，此時(shí).