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          設橢圓C1:+=1(a>b>0),拋物線C2:x2+by=b2.

          (1)若C2經過C1的兩個焦點,求C1的離心率;
          (2)設A(0,b),Q(3,b),又M,N為C1與C2不在y軸上的兩個交點,若△AMN的垂心為B(0,b),且△QMN的重心在C2上,求橢圓C1和拋物線C2的方程.
          (1)  (2)+=1    x2+2y=4

          解:(1)因為拋物線C2經過橢圓C1的兩個焦點F1(-c,0),F2(c,0),
          可得c2=b2,
          由a2=b2+c2=2c2,
          =,
          所以橢圓C1的離心率e=.
          (2)由題設可知M,N關于y軸對稱,
          設M(-x1,y1),N(x1,y1)(x1>0),
          則由△AMN的垂心為B,有·=0.
          所以-+(y1-b)(y1-b)=0.①
          由于點N(x1,y1)在C2上,
          故有+by1=b2.②
          由①②得y1=-或y1=b(舍去),
          所以x1=b,
          故M(-b,-),N(b,-),
          所以△QMN的重心坐標為(,).
          由重心在C2上得3+=b2,
          所以b=2,
          M(-,-),N(,-).
          又因為M,N在C1上,
          所以+=1,
          解得a2=.
          所以橢圓C1的方程為+=1.
          拋物線C2的方程為x2+2y=4.
          練習冊系列答案
          相關習題

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          如圖,已知橢圓=1(a>b>0)的離心率為,且過點A(0,1).
           
          (1)求橢圓的方程;
          (2)過點A作兩條互相垂直的直線分別交橢圓于點M、N,求證:直線MN恒過定點P.

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          (2)設點P為準線l上一動點,且在x軸上方.圓M經過O、F、P三點,求當圓心M到x軸的距離最小時圓M的方程.

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          A.B.C.D.

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          科目:高中數學 來源:不詳 題型:填空題

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          科目:高中數學 來源:不詳 題型:單選題

          已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為.雙曲線x2-y2=1的漸近線與橢圓C有四個交點,以這四個交點為頂點的四邊形的面積為16,則橢圓C的方程為(  )
          A.+=1B.+=1
          C.+=1D.+=1

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          科目:高中數學 來源:不詳 題型:單選題

          已知A、B分別為橢圓+=1(a>b>0)的左、右頂點,C(0,b),直線l:x=2a與x軸交于點D,與直線AC交于點P,若∠DBP=,則此橢圓的離心率為(  )
          (A)      (B)     (C)      (D)

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          科目:高中數學 來源:不詳 題型:單選題

          已知中心在原點的橢圓C的右焦點為F(1,0),離心率等于,則C的方程是(  )
          A.+=1B.+=1
          C.+=1D.+=1

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          科目:高中數學 來源:不詳 題型:填空題

          設F1,F2分別是橢圓+=1的左、右焦點,P為橢圓上一點,M是F1P的中點,|OM|=3,則P點到橢圓左焦點距離為    .

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          同步練習冊答案