Question

【題目】已知函數(shù)， ，其中．

（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；

（2）若對任意的， （為自然對數(shù)的底數(shù)）都有成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為， ；（2）.

【解析】試題分析： 求出函數(shù)的導數(shù)，解關(guān)于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

問題等價于對任意的， 都有，通過討論的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)性，從而求出的最小值和的最大值，確定的范圍即可；

解析：（I）解：當時，

解得或，

則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，

（II）對任意的都有成立等價于在定義域內(nèi)有．

當時， ．

∴函數(shù)在上是增函數(shù)．

∴．

∵，且， ．

①當且時， ，(僅在且時取等號)

∴函數(shù)在上是增函數(shù)，

∴.

由，得，

又，∴不合題意．

②當時，

若，則，

若，則．

∴函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．

∴. 由，得，

又，∴．

③當且時， ，(僅在且時取等號)

∴函數(shù)在上是減函數(shù)．

∴.

由，得，

又，∴．

綜上所述：