Question

【題目】某禮品店要制作一批長(zhǎng)方體包裝盒，材料是邊長(zhǎng)為的正方形紙板．如圖所示，先在其中相鄰兩個(gè)角處各切去一個(gè)邊長(zhǎng)是的正方形，然后在余下兩個(gè)角處各切去一個(gè)長(zhǎng)、寬分別為、的矩形，再將剩余部分沿圖中的虛線折起，做成一個(gè)有蓋的長(zhǎng)方體包裝盒．

(1)求包裝盒的容積關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并求函數(shù)的定義域；

(2)當(dāng)為多少時(shí)，包裝盒的容積最大？最大容積是多少？

Answer 1

【答案】（1） ，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>．（2）切去的正方形邊長(zhǎng)時(shí)，包裝盒的容積最大，最大容積是．

【解析】試題分析：（1）先用x表示長(zhǎng)寬高，再根據(jù)長(zhǎng)方體體積公式列函數(shù)解析式，最后根據(jù)實(shí)際意義確定定義域（2）求導(dǎo)數(shù)，再求導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，列表分析導(dǎo)函數(shù)符號(hào)變化規(guī)律，確定單調(diào)性，最后根據(jù)單調(diào)性確定函數(shù)最值

試題解析：（1）因?yàn)榘�裝盒高，底面矩形的長(zhǎng)為，寬為，

所以鐵皮箱的體積 ．

函數(shù)的定義域?yàn)?/span>．

（2）由（1）得， ，

令，解得．

當(dāng)時(shí)， ，函數(shù)單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)， ，函數(shù)單調(diào)遞減．

所以函數(shù)在處取得極大值，這個(gè)極大值就是函數(shù)的最大值．

又．

答：切去的正方形邊長(zhǎng)時(shí)，包裝盒的容積最大，最大容積是．