Question

若數(shù)列滿足條件：存在正整數(shù)，使得對一切都成立，則稱數(shù)列為級等差數(shù)列．
（1）已知數(shù)列為2級等差數(shù)列，且前四項分別為，求的值；
（2）若為常數(shù)），且是級等差數(shù)列，求所有可能值的集合，并求取最小正值時數(shù)列的前3項和；
（3）若既是級等差數(shù)列，也是級等差數(shù)列，證明：是等差數(shù)列．

Answer 1

（1）19，（2），（3）詳見解析.

試題分析：（1）解新定義數(shù)列問題，關(guān)鍵從定義出發(fā)，建立等量關(guān)系.，（2）本題化簡是關(guān)鍵.因為是級等差比數(shù)列，所以，

，所以， 或
，最小正值等于，此時
，（3）充分性就是驗證，易證，關(guān)鍵在于證必要性，可從兩者中在交集（共同元素）出發(fā). ,成等差數(shù)列, 因此既是中的項，也是中的項，既是中的項，也是中的項，可得它們公差的關(guān)系，進而推出三者結(jié)構(gòu)統(tǒng)一，得出等差數(shù)列的結(jié)論.
（1）   （2分）

   （4分）
（2）是級等差數(shù)列，
（） （1分）（）
所以， 或
對恒成立時，
時，
   （3分）
最小正值等于，此時
由于（）
（）   （5分）

（）   （6分）
（3）若為級等差數(shù)列，，則均成等差數(shù)列，（1分）
設(shè)等差數(shù)列的公差分別為
為級等差數(shù)列，，則成等差數(shù)列，設(shè)公差為
既是中的項，也是中的項，   （3分）
既是中的項，也是中的項，
   （5分）
設(shè)，則
所以（），
，（）
又，，所以，   （7分）
（）
綜合得：，顯然為等差數(shù)列。   （8分）