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        1. 精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情

          【題目】已知方程.

          (1)設,方程有三個不同實根,求的取值范圍;

          (2)求證:是方程有三個不同實根的必要不充分條件.

          【答案】(1) ;(2)見解析.

          【解析】

          試題(1)三次函數有三個零點,等價于零在極大值與極小值之間,因此本題實質先求函數極值,再解不等式, (2)證明不充分,只需舉一個反例即可;證明必要性,可說明時方程沒有三個不同實根.

          試題解析:設.

          (1)當時,方程有三個不同實根,

          等價于函數有三個不同零點,

          ,令,

          的區(qū)間上情況如下:

          所以,當時且時,存在,,

          使得.

          的單調性知,當且僅當時,函數有三個不同零點.

          即方程有三個不同實根.

          (2)當時,,

          此時函數在區(qū)間上單調遞增,

          所以不可能有三個不同零點.

          時,只有一個零點,記作,

          時,,在區(qū)間上單調遞增;

          時,,在區(qū)間上單調遞增.

          所以不可能有三個不同零點.

          綜上所述,若函數有三個不同零點,則必有.

          有三個不同零點的必要條件.

          ,時,,只有兩個不同零點,

          所以不是有三個不同零點的充分條件.

          因此有三個不同零點的必要而不充分條件.

          是方程有三個不同實根的必要而不充分條件.

          練習冊系列答案
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