Question

【題目】已知方程.

（1）設(shè)，方程有三個(gè)不同實(shí)根，求的取值范圍；

（2）求證：是方程有三個(gè)不同實(shí)根的必要不充分條件.

Answer 1

【答案】(1) ;(2)見解析.

【解析】

試題(1)三次函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于零在極大值與極小值之間，因此本題實(shí)質(zhì)先求函數(shù)極值，再解不等式， (2)證明不充分，只需舉一個(gè)反例即可；證明必要性，可說明時(shí)方程沒有三個(gè)不同實(shí)根.

試題解析：設(shè).

（1）當(dāng)時(shí)，方程有三個(gè)不同實(shí)根，

等價(jià)于函數(shù)有三個(gè)不同零點(diǎn)，

，令得或，

與的區(qū)間上情況如下：

所以，當(dāng)時(shí)且時(shí)，存在，，，

使得.

由的單調(diào)性知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，函數(shù)有三個(gè)不同零點(diǎn).

即方程有三個(gè)不同實(shí)根.

（2）當(dāng)時(shí)，，，

此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以不可能有三個(gè)不同零點(diǎn).

當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)，記作，

當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增.

所以不可能有三個(gè)不同零點(diǎn).

綜上所述，若函數(shù)有三個(gè)不同零點(diǎn)，則必有.

故是有三個(gè)不同零點(diǎn)的必要條件.

當(dāng)，時(shí)，，只有兩個(gè)不同零點(diǎn)，

所以不是有三個(gè)不同零點(diǎn)的充分條件.

因此是有三個(gè)不同零點(diǎn)的必要而不充分條件.

即是方程有三個(gè)不同實(shí)根的必要而不充分條件.