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        1. 【題目】已知方程.

          (1)設(shè),方程有三個不同實根,求的取值范圍;

          (2)求證:是方程有三個不同實根的必要不充分條件.

          【答案】(1) ;(2)見解析.

          【解析】

          試題(1)三次函數(shù)有三個零點,等價于零在極大值與極小值之間,因此本題實質(zhì)先求函數(shù)極值,再解不等式, (2)證明不充分,只需舉一個反例即可;證明必要性,可說明時方程沒有三個不同實根.

          試題解析:設(shè).

          (1)當(dāng)時,方程有三個不同實根,

          等價于函數(shù)有三個不同零點,

          ,令,

          的區(qū)間上情況如下:

          所以,當(dāng)時且時,存在,,,

          使得.

          的單調(diào)性知,當(dāng)且僅當(dāng)時,函數(shù)有三個不同零點.

          即方程有三個不同實根.

          (2)當(dāng)時,,,

          此時函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,

          所以不可能有三個不同零點.

          當(dāng)時,只有一個零點,記作,

          當(dāng)時,,在區(qū)間上單調(diào)遞增;

          當(dāng)時,,在區(qū)間上單調(diào)遞增.

          所以不可能有三個不同零點.

          綜上所述,若函數(shù)有三個不同零點,則必有.

          有三個不同零點的必要條件.

          當(dāng),時,只有兩個不同零點,

          所以不是有三個不同零點的充分條件.

          因此有三個不同零點的必要而不充分條件.

          是方程有三個不同實根的必要而不充分條件.

          練習(xí)冊系列答案
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          附表:

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          (1)求曲線的直角坐標(biāo)方程;

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