Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）若函數(shù)在上有三個零點，求實數(shù)的取值范圍；

（2）設(shè)函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)），證明：對任意的，都有恒成立．

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

試題

(1)利用題意首先討論函數(shù)的單調(diào)性，然后結(jié)合函數(shù)的極值可求得實數(shù)的取值范圍為；

(2)原問題等價于成立，結(jié)合(1)中的結(jié)論討論函數(shù)的最值即可證得結(jié)論.

試題解析：

解：（1），令，得，

當(dāng)時，，當(dāng)時，或，

所以在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以在處取得極小值，在處取得極大值，

因為在上有三個零點，所以有即，∴，

即實數(shù)的取值范圍為；

（2）對任意的，都有恒成立，等價于當(dāng)時，成立，由（1）知，在在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上的最大值，，令，得，

因為當(dāng)時，，當(dāng)時，，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

故的上的最小值，所以時，成立.